Nettkurs

Boka

Hva er en funksjon?

• En funksjon (function) fra $A$ til $B$ er en binær relasjon $f$ fra $A$ til $B$ slik at for enhver $x$ $\in$ $A$, er det nøyaktig ett element $y \in B$ (ikke mer eller mindre) slik at $\lang x,y\rang \in f$.
• Vi skriver $f(x)=y$ når $\lang x,y\rang \in f$. I dette tilfellet kaller vi $x$ for argumentet og $f(x)$ for verdien til funksjonen.
• vi skriver $f:A \rightarrow B$ for funksjonen $f$ når den er en funksjon fra $A$ til $B$.
• Eksempler på mengder som er eller ikke er funksjoner:
  • $(\lang 1,1\rang,\lang 2,2\rang,\lang 3,3\rang)$ er en funksjon fra $\{1,2,3\}$ til $\{1,2,3\}$.
  • $(\lang 1,a\rang,\lang 2,b\rang)$ er ikke en funksjon fra $\{1,2,3\}$ til $\{a,b\}$, fordi ikke alle argumentene er brukt.
  • $(\lang 1,1\rang,\lang 1,2\rang,\lang 2,3\rang,\lang 3,3\rang)$ er ikke en funksjon fra $\{1,2,3\}$ til $\{1,2,3\}$, fordi noe argumenter er brukt mer enn to ganger.

Intensjonal vs ekstensjonal

• En intensjonal måte å representere funksjoner: $f(x)=x+x$
• En ekstensjonal måte å representere funksjoner: $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ $(\lang 1,2\rang,\lang 2,4\rang,\lang 3,6\rang,...)$ (vi bare ser på par av argumenter og verdier uten å vite mekanisme bak funksjonen)

Andre skrivemåter

• $f(x) = 2x$ inneholder alle tupler på formen $\lang x,2x\rang$.
• Eller skrives det sånn: $x \mapsto 2x$.

Definisjons- og verdiområder

• La oss anta at $f: A \rightarrow B$
• Da er $A$ et definisjonsområde (domain)
• Og $B$ er et verdiområde (codomain)

Noen funksjoner

Injektiv funksjon